摆线的弧长为8a。
解：弧长=a∫<0,2π>√(2+2cosθ)dθ
=√2a∫<0,2π>√(1+cosθ)dθ
=√2a∫<0,2π>√(2cos²(θ/2))dθ (应用半角公式)
=2a∫<0,2π>∣cos(θ/2)∣dθ
=2a[∫<0,π>cos(θ/2)dθ+∫<π,2π>(-cos(θ/2))dθ]
=4a(1-(-1))
=8a（详解见图）
基本原理：
摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。
有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。
由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。
以上内容参考：百度百科-摆线